Recueil de géométrie

En géométrie, un point est un objet fondamental qui ne possède ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. Il représente uniquement une position dans l'espace. On le note avec une lettre majuscule, par exemple \( A \), et il est généralement représenté par un petit point visible sur une figure.

1. Une droite est une ligne infinie dans les deux directions. Elle est définie par au moins deux points distincts. Elle ne possède ni début ni fin et est représentée par une ligne droite sans interruption. Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts, l'unique droite qui passe par ces deux points se note \( (AB) \).
2. Une demi-droite est une portion de droite possédant une seule extrémité, appelée origine. On la note \( [AB) \), où \( A \) est l'origine.
3. Un segment est une portion de droite délimitée par deux points appelés extrémités. Il possède une longueur mesurable. Un segment qui a pour extrémités \(A\) et \(B\) se note \( [AB] \) et sa longueur \(AB\).

Le milieu d'un segment est le point qui le partage en deux parties de même longueur. Si \( M \) est le milieu du segment \( [AB] \), alors \( AM = MB \).

1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
2. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
3. Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

La médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Tout point situé à égale distance des extrémités d’un segment se trouve sur la médiatrice de ce segment

Deux demi-droites de même origine délimitent deux régions, appelées secteurs angulaires. Deux secteurs angulaires définissent le même angle s'ils sont superposables. Deux demi-droites de même origine définissent donc en général deux angles, on privilégiera l’angle le plus petit.

La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui partage celui-ci en deux angles de même mesure.

Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes. Ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre. Ils sont toujours égaux.

Deux angles sont dits adjacents si :

1. ils ont le même sommet
2. ils possèdent un côté en commun
3. ils sont situés de part et d'autre de ce côté en commun

Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont alternes-internes si, et seulement si :

1. ils sont situés de part et d'autre de la sécante
2. ils sont situés entre les deux droites
3. ils n'ont pas le même sommet

Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont correspondants si, et seulement si :

1. ils sont situés du même côté de la sécante
2. l'un est situé entre les deux droites et l'autre en dehors.
3. ils n'ont pas le même sommet

Soient deux droites distinctes coupées par une même sécante. Ces deux droites sont parallèles si, et seulement si :

• les angles alternes-internes formés par la sécante sont de même mesure,
• ou bien les angles correspondants formés par la sécante sont de même mesure.

Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.

Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles intérieurs est égale à 180°.

Dans tout triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

1. Un triangle \(ABC\) est isocèle en A si et seulement si \(AB=AC\)
2. Un triangle \(ABC\) est équilatéral si et seulement si \(AB=AC=BC\).
3. Un triangle qui n'est pas isocèle est un triangle scalène
4. Un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si, et seulement si \(\widehat{BAC}\) est un angle droit

Deux sommets correspondants sont des sommets occupant la même position relative dans deux figures mises en correspondance par une transformation géométrique (symétrie, translation, rotation, similitude, etc.). Si deux polygones sont semblables ou égaux et que leurs sommets sont nommés dans le même ordre, alors les sommets qui portent la même lettre (ou le même rang dans l’ordre) sont correspondants.
Deux côtés homologues relient des sommets correspondants dans deux figures mises en correspondance, et occupent la même position relative dans chacune d’elles.
Deux angles homologues sont des angles situés à la même position relative dans deux figures mises en correspondance. Ils sont formés par des sommets correspondants et des côtés homologues.
Exemple : Dans les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) mis en correspondances, on a :

1. \(A\leftrightarrow A'\)    \(B\leftrightarrow B'\)    \(C\leftrightarrow C'\)
2. \(AB\leftrightarrow A'B'\)    \(AC\leftrightarrow A'C'\)    \(BC\leftrightarrow B'C'\)
3. \(\widehat{ABC}\leftrightarrow \widehat{A'B'C'}\)    \(\widehat{BCA}\leftrightarrow \widehat{B'C'A'}\)    \(\widehat{CAB}\leftrightarrow \widehat{C'A'B'}\)

Deux triangles sont dits égaux s’ils sont superposables, c’est-à-dire s’il est possible de faire coïncider l’un avec l’autre par une transformation du plan (translation, rotation ou symétrie) faisant correspondre leurs côtés homologues et leurs angles homologues. On dit alors que ces triangles sont images l’un de l’autre par une isométrie.On dit aussi que ces triangles sont isométriques ou congruents.
Dit autrement, deux triangles sont égaux si les longueurs de leurs côtés homologues sont égales et si les mesures de leurs angles homologues sont égales.

1. Deux triangles sont égaux, si les longueurs de leurs côtés sont deux à deux égales
2. Deux triangles sont égaux s'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles homologues de mêmes mesures
3. Deux triangles sont égaux s'ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés homologues de mêmes longueurs.

Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles homologues sont égaux deux à deux.

Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \( A \) si et seulement si \(A\) appartient au cercle de diamétre \([BC]\).

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dit autrement, si le triangle est rectangle en \( C \), alors :
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle. L'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.

Soit \(d\) et \(d'\) deux droites sécantes en \(A\). On suppose que \(B\) et \(M\) sont deux points de \(d\) distincts de \(A\), et que \(C\) et \(N\) sont deux points de \(d'\) distincts de \(A\). Si les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles, alors on a \[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC} \]

Soit \(A,B,M\) trois points distincts d'une droite et \(A,C,N\) trois points distincts d'une autre droite, si \(A,B,M\) et \(A,C,N\) sont placés dans le même ordre sur leurs droites respectives et \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) alors \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés, qui peut être convexe (tous ses angles intérieurs sont strictement inférieurs à 180°), concave (l’un de ses angles intérieurs est supérieur à 180°) ou croisé (deux de ses côtés non consécutifs se coupent). Ici, nous nous intéresserons uniquement aux quadrilatères convexes.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés du parallèlogramme :

1. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
2. Les côtés opposés ont la même longueur.
3. Les angles opposés sont égaux.
4. La somme de deux angles consécutifs est égale à 180°.
5. Les diagonales se coupent en leur milieu.
6. Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie.

Il suffit que l'une des conditions suivantes soit remplie pour qu’un quadrilatère convexe soit un parallélogramme :

1. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
2. Les angles opposés sont égaux.
3. Une paire de côtés opposés est à la fois parallèle et de même longueur.
4. Les diagonales se coupent en leur milieu.

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

En plus des propriétés du parallélogramme, le rectangle possède les propriétés suivantes :

1. Les quatre angles sont droits (90°).
2. Les diagonales ont la même longueur.

Il suffit que l'une des conditions suivantes soit remplie pour qu’un parallélogramme soit un rectangle :

1. Il a un angle droit.
2. Ses diagonales sont de même longueur.

Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur.

En plus des propriétés du parallélogramme, le losange possède les propriétés suivantes :

1. Ses quatre côtés ont la même longueur.
2. Ses diagonales sont perpendiculaires.
3. Ses diagonales sont des axes de symétrie.
4. Ses diagonales coupent les angles en deux (elles sont bissectrices).

Il suffit que l'une des conditions suivantes soit remplie pour qu’un parallélogramme soit un losange :

1. Deux côtés consécutifs ont la même longueur.
2. Ses diagonales sont perpendiculaires.
3. Une de ses diagonales est un axe de symétrie.

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange : il a quatre côtés égaux et quatre angles droits.

Un cercle est l'ensemble des points situés à une même distance d'un point fixe appelé centre. Cette distance est appelée rayon. Le cercle est une figure plane parfaitement symétrique.

Un arc de cercle est une portion continue d’un cercle, délimitée par deux points distincts \(A\) et \(B\) situés sur ce cercle. Il existe deux arcs entre \(A\) et \(B\) sur un même cercle (le mineur et le majeur) L’arc mineur est noté \( \overset{\frown}{AB} \)

1. Le segment \([AB]\) est appelée la corde qui sous-tend l'arc \( \overset{\frown}{AB} \)
2. la droite \((MM')\) passant par le milieu de la corde et perpendiculaire à celle-ci s'appelle la flèche
3. L'angle \(\widehat{AOB}\) est appelé angle au centre interceptant l'arc \( \overset{\frown}{AB} \)
4. Si \(J\) est un point du cercle non situé sur l'arc \( \overset{\frown}{AB} \), l'angle \(\widehat{AJB}\) est appelé angle inscrit interceptant l'arc \( \overset{\frown}{AB} \)
5. La zone délimitées par l'arc et sa corde est un segment circulaire.